A)Progresiones numéricas 

En este texto damos el concepto de progresión, los tipos básicos y el término general. También, hablamos un poco de las progresiones aritméticas y geométricas (diferencia, razón y término general). Se incluyen ejemplos y problemas resueltos de los conceptos vistos.

Primeras definiciones

Una progresión o sucesión matemática es una secuencia ordenada de números que puede ser finita o infinita. A cada uno de los números se le denomina término y se le representa por an, siendo n la posición del término en la secuencia.

Ejemplos:

• La progresión de los números impares es una secuencia infinita: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,... El primer término es a1=1 y el quinto término es a5=9.

• La progresión 1, 2, 3, 4 y 5 es finita (sólo consta de cinco términos). El segundo término es a2 = 2 y el cuarto es a4 = 4.

Una progresión puede ser

• Creciente: si cada término es mayor o igual que el término que ocupa una posición anterior an+1 > an.

  Ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5,...

• Decreciente: si cada término es menor que el término que ocupa una posición anterior an+1 ≤ an.

  Ejemplo: 7, 5, 3, 1, -1,...

• Constante: si todos los términos son iguales an+1=an.

  Ejemplo: 1, 1, 1, 1, 1,...

• Alternada: si el signo de cada término es distinto del signo del término anterior.

  Ejemplo: 1, -2, 4, -8, 16, -32,...

A. a) progresión aritmética 

Una progresión es aritmética si cada término se obtiene sumando un número constante (diferencia) al término anterior.

Ejemplos:

• 100, 105, 110, 115, 120, ... es una sucesión aritmética cuya diferencia es d=5.

• -5, -3, -1, 1, 3 y 5 es una sucesión aritmética (finita) cuya diferencia es d=2.

• 1, 4, 9, 16, 25, 36,... no es una sucesión aritmética porque, aunque el segundo término se obtiene sumando 3 al primero, no ocurre lo mismo con los siguientes.

El término general de una progresión aritmética es

Si la diferencia d de la progresión es un número positivo, la progresión es creciente. Si d es negativo, la progresión es decreciente.

A. b) progresiones geométricas

Una progresión es geométrica si cada término se obtiene multiplicando un número constante (razón) por el término anterior.

Ejemplos:

• 1, 3, 9, 27, 81, ... es una sucesión geométrica cuya razón es r=3.

• 6, 12, 24, 48, 96,... es una sucesión geométrica cuya razón es r=2.

• 5, 25, 50, 150,... no es una sucesión geométrica porque, aunque el segundo término se obtiene multiplicando por 5 al primero, no ocurre lo mismo con los siguientes.

El término general de una progresión geométrica es

Si el primer término de una progresión geométrica es positivo, entonces:

• Si la razón r de la progresión es un número positivo mayor que 1, la progresión es creciente.

• Si r = 1 la progresión es constante.

• Si 0 < r <1, la progresión es decreciente.

• Si r es negativo, la progresión es alternada (el signo va cambiando).

Ejemplos:

• La sucesión 1, 2, 4, 8, 16,... es creciente porque la razón es r = 2 > 1.

• La sucesión 2, 2, 2, 2,... es constante porque la razón es r = 1.

• La sucesión 80, 40, 20, 10, 5, 2.5,... es decreciente porque la razón es 0 < r = 0.5 < 1.

• La sucesión 1, -2, 4, -8, 16,... es alternada porque la razón es r=−2<0.